Relax and Merge：解决公平 k-均值和 k-稀疏 Wasserstein 双中心问题的简单而有效框架

聚类算法的公平性在各个领域引起了广泛关注，包括机器学习。本文我们研究欧几里得空间中的公平 k-均值聚类。给定一个包含多个组的数据集，公平性约束要求每个簇中来自每个组的点比例在指定的下限和上限之间。由于这些公平约束，确定 k 个中心的最优位置是一个相当具有挑战性的任务。我们提出了一种新的“Relax and Merge”框架，可返回$(1+4\rho + O(\epsilon))$-近似解，其中$\rho$是现成 vanilla k-均值算法的近似比率，$O(\epsilon)$可以是任意一个很小的正数。如果配合 k-均值的 PTAS，我们的解答能在仅稍微违反公平约束的情况下实现$(5+O(\epsilon))$的近似比率，这改进了当前最佳的近似保证。此外，我们的框架还能获得 k-稀疏 Wasserstein 双中心问题的$(1+4\rho +O(\epsilon))$-近似解，这是 optimal transport 领域的基本优化问题，以及严格公平 k-均值聚类的$(2+6\rho)$-近似解（无违反），这两者都优于当前的最佳方法。此外，实验结果表明，我们提出的算法在聚类成本方面显著优于基线方法。