带离群点 $k$-稀疏 Wasserstein 球心的近似算法

Wasserstein 球心(WB) 是最优化传输中的基本优化问题之一。给定一组分布，WB 的目标是找到一个新的分布，以最小化其到它们的平均 Wasserstein 距离。如果将解限制为“$k$-稀疏”，问题会变得更难。本文研究了带离群点情形下的 $k$-稀疏 WB 问题，这是一种更实际的设置，因为实际数据常包含噪声。现有的 WB 算法无法直接扩展到带离群点的情形，因此迫切需要开发一些新方法。首先，我们研究 $k$-稀疏 WB 带离群点问题与聚类（带离群点）问题之间的关系。具体而言，我们提出一种基于聚类的 LP 方法，可为 $k$-稀疏 WB 带离群点问题提供常数近似比。进一步，我们利用核心技术，在维数不高的情况下实现对任意 $\epsilon>0$ 的 $(1+\epsilon)$ 近似比。最后，我们对提出的算法进行实验，说明其在实际中的有效性。