滑动窗口模型中带离群点的$k$-中心聚类

点集$P$的$k$-中心问题要求一组$k$个全等球（即等半径的球），它们共同覆盖$P$中所有点且半径最小。带离群点的$k$-中心问题定义类似，不同之处在于对于给定的参数$z$，$P$中有$z$个点无需被覆盖。我们研究滑动窗口模型中数据流上的带离群点$k$-中心问题。在该模型中，给定可能无限的点流$P=\langle p_1,p_2,p_3,\ldots\rangle$与长度$W$的时间窗口，我们希望维护窗口中当前点集$P(t)$的一个小型草图，使得利用该草图可在$P(t)$上近似求解该问题。我们提出了滑动窗口模型中带离群点$k$-中心问题的首个算法。该算法适用于点来自有界翻倍维空间的情形，并维护集合$S(t)$，使得在$S(t)$上的最优解给出$P(t)$上$(1+\varepsilon)$的近似解。算法是确定性的，使用$O((kz/\varepsilon^d)\log \sigma)$的存储，其中$d$为底层的翻倍维，$\sigma$为流中点的伸展度。即便在无离群点情形或仅插入带离群点情形中，提供$(1+\varepsilon)$-近似的算法此前亦未知。我们还给出下界，表明任何提供$(1+\varepsilon)$-近似的算法必须使用$\Omega((kz/\varepsilon)\log \sigma)$的存储。