混合k-聚类：融合k中位数与k中心

我们提出了一种新型聚类模型，涵盖两种著名聚类模型：k中心聚类和k中位数聚类。在混合k-聚类问题中，给定$\mathbb{R}^d$中的一组点$P$，一个整数$k$和一个非负实数$r$，我们的目标是定位$k$个半径为$r$的闭球，以最小化未被球覆盖的点到最近球的距离之和。等价地，我们寻求将$k个半径为$r$的球的并集对$\mathbb{R}^d$中的一组点的$L_1$拟合。在$r=0$时，这对应于k中位数；当最小和为零时，指示所有点都被完全覆盖，这是k中心。我们的主要结果是一种双准则近似算法，该算法对于给定的$\epsilon>0$，产生半径为$(1+\epsilon)r$的混合k-聚类。该算法的成本最多为最优解的$1+\epsilon$，运行时间为$2^{(kd/\epsilon)^{O(1)}} n^{O(1)}$。值得注意的是，考虑到对k中心和k中位数所建立的下界，我们的双准则近似是混合k-聚类的最佳可能结果。