不相交与非不相交聚类的连通 k-中位数问题

连通 $k$-中位数问题是一类约束聚类问题,它将基于距离的 $k$-聚类与连通性信息相结合。该问题允许输入一个度量空间以及一个与该度量空间完全无关的无权无向连通图。目标是计算 $k$ 个中心及相应的聚类,使得每个聚类构成 $G$ 的一个连通子图,并使 $k$-中位数代价最小化。该问题在大地测量学(尤其是选区划分)、社交网络分析(尤其是社区检测)以及生物信息学等截然不同的领域均有应用。我们研究了一种允许聚类重叠的版本,即数据点可属于多个聚类,这对社区检测的应用场景而言十分自然。该问题变体是 $\Omega(\log n)$-难近似的,而我们的主要结果是针对该问题的一个 $\mathcal{O}(k^2 \log n)$-近似算法。作为补充,我们在一般连通图下不相交(无重叠)聚类情形证明了 $\Omega(n^{1-\epsilon})$ 的难度下界,并在该情形下当连通图为树时给出了一个精确算法。