带集合离群点的聚类及其在关系聚类中的应用

我们引入并研究了带集合离群点的 $k$-中心聚类问题，这是经典的带离群点 $k$-中心聚类的一种自然且实用的推广。我们的模型允许从给定的候选离群点集族 $\mathcal{H}$ 中丢弃最多 $z$ 个子集，而不是移除单个数据点。给定度量空间 $(P,\mathsf{dist})$，其中 $P$ 是元素集合，$\mathsf{dist}$ 是距离度量，$\mathcal{H}\subseteq 2^P$ 是一个集族，以及参数 $k, z$，目标是计算一组 $k$ 个中心 $S\subseteq P$ 和一个包含 $z$ 个集合的集族 $H\subseteq \mathcal{H}$，以最小化 $\max_{p\in P\setminus(\bigcup_{h\in H} h)} \min_{s\in S}\mathsf{dist}(p,s)$。这种抽象捕捉了数据库应用中常见的结构化噪声，例如数据集成和传感器系统中的故障数据源或损坏记录。我们针对一般和几何设定下的该问题提出了首个近似算法。我们的方法提供三准则近似：选择最多 $2k$ 个中心和 $2f z$ 个离群点集（其中 $f$ 是一个点所属集合的最大数量），同时在聚类代价上实现 $O(1)$-近似。在几何设定下，我们利用 range 树和 BBD 树实现了近线性时间算法。在许多实际应用中 $f=1$。在这种情况下，我们通过构建小型 \emph{coresets} 进一步改进了算法的运行时间。我们还为一般问题提供了硬度结果，表明在选择少于 $f\cdot z$ 个离群点集时，不太可能对聚类代价获得任何次线性近似。我们证明该模型自然地捕捉了带离群点的关系聚类：离群点是移除后会影响连接输出的输入元组。我们为两者都提供了近似算法，建立了鲁棒聚类与关系查询评估之间的紧密联系。