均匀采样对$k$-中位数的威力

我们研究了均匀采样在各种度量空间中对$k$-Median的作用。我们将近似$k$-Median的查询复杂度与数据集的一个关键参数——平衡度$\beta \in (0, 1]$（其中$1$表示完全平衡）联系起来。我们证明，任何算法都必须对点集进行$\Omega(1 / \beta)$次查询，才能实现对$k$-Median的$O(1)$-近似。这尤其意味着现有的coresets（一种流行的数据归约技术）构造无法在查询上高效。另一方面，我们证明，对于各种度量空间，均匀采样$\mathrm{poly}(k \epsilon^{-1} \beta^{-1})$个点足以实现$(1 + \epsilon)$-近似的$k$-Median，这几乎与下界匹配。我们进行了实验以验证在许多真实数据集中，平衡度参数通常有良好的界，并且即使对于平衡度中等较大的情况，均匀采样也始终表现良好，这证明了均匀采样确实是解决$k$-Median的一种可行方法。