一种改进权衡的 $k$-$\mathtt{means}$++ 拒绝采样新方法

$k$-$\mathtt{means}$++ 种子算法 (Arthur & Vassilvitskii, 2007) 在实践中被广泛用于 $k$-均值聚类问题，其目标是将数据集 $\mathcal{X} \subset \mathbb{R} ^d$ 聚类为 $k$ 个簇。该算法的流行源于其简单性以及可证明的在期望上比最优解差 $O(\log k)$ 倍的竞争力保证。然而，其运行时间为 $O(|\mathcal{X}|kd)$，这使得它在处理大型数据集时成本高昂。在这项工作中，我们提出了一种简单有效的基于拒绝采样的方法来加速 $k$-$\mathtt{means}$++。我们的第一种方法运行时间为 $\tilde{O}(\mathtt{nnz} (\mathcal{X}) + \beta k^2d)$，同时在期望上仍保持 $O(\log k)$ 的竞争力。这里，$\beta$ 是一个参数，表示数据集方差与期望最优 $k$-$\mathtt{means}$ 代价的比值，而 $\tilde{O}$ 隐藏了 $k$ 和 $|\mathcal{X}|$ 中的对数因子。我们的第二种方法在计算成本和求解质量之间提供了一种新的权衡。它在 $k$-$\mathtt{means}$++ 的 $O(\log k)$ 保证之外，额外增加了一个尺度不变的因子 $k^{-\Omega( m/\beta)} \operatorname{Var} (\mathcal{X})$，改进了 (Bachem et al, 2016a) 的结果，后者在运行时间仍为 $\tilde{O}(\mathtt{nnz}(\mathcal{X}) + mk^2d)$ 的同时，额外增加了一个 $m^{-1}\operatorname{Var}(\mathcal{X})$ 因子。我们进行了广泛的实证评估，以验证我们的理论结果，并展示我们的方法在真实数据集上的有效性。