基于弗雷歇距离和豪斯多夫距离的 $k$-中位数聚类的核心集

我们给出了用于计算多边形曲线（在离散和连续弗雷歇距离下）和点集（在豪斯多夫距离下）的 $(1+\varepsilon)$-近似 $k$-中位数聚类的核心集的算法，其中聚类中心被限制为低复杂度。我们的结果是首个此类结果，其中核心集的大小与待聚类的输入曲线/点集的数量无关（尽管它仍依赖于每个输入对象的最大复杂度）。具体而言，对于任意 $\delta > 0$，核心集的大小为 $\Theta\left(\frac{k^3lm^{\delta}d}{\varepsilon^2}\log\left( \frac{kl}{\varepsilon}\right)\right)$，其中 $d$ 是 ambient 维数，$m$ 是输入曲线/点集中的最大点数，$l$ 是聚类中心允许的最大点数。我们正式刻画了关于受限聚类中心空间的一般条件——这帮助我们推广并应用了 Langberg 和 Schulman 用于计算 $\mathbb{R}^d$ 中赋范空间上 $d$ 维点 $k$-中位数聚类核心集的重要性采样框架，到使用弗雷歇和豪斯多夫度量的曲线和点集聚类问题。粗略地说，该条件对受限聚类中心空间所能命中的度量球的不同组合数量给出了上界。我们还推导了在核心集必须是输入对象的子集这一限制下核心集大小的下界。