基于Fréchet距离的$(k, \ell)$-中值聚类的核集

我们给出一种计算 $\mathbb{R}^d$ 中多边形曲线在Fréchet距离下 $(k, \ell)$-中值聚类的 $\epsilon$-核集的算法。此类聚类是欧氏 $k$-中值聚类的改编：给定 $n$ 条 $\mathbb{R}^d$ 中多边形曲线，每条复杂度(顶点数)至多 $m$，希望计算 $k$ 条中值曲线使给定曲线到其最近中值曲线的距离和最小。此外，我们将每条中值曲线复杂度限制为至多 $\ell$，以抑制过拟合这一序列数据特有的问题。我们的算法在 $n$ 上线性、在 $m$ 上次四次方、在 $\epsilon^{-1}$ 上平方。其以高概率返回大小为 $\epsilon^{-1}$ 上平方、在 $n$ 与 $m$ 上对数的 $\epsilon$-核集。我们将Langberg与Feldman改进的 $\epsilon$-核集框架应用于任意度量空间上的广义 $k$-中值问题得到该结果。随后我们将此结果与Driemel等人近期关于Fréchet距离下度量球VC维的结果结合。此外，我们的框架对任意广义 $k$-中值问题给出 $\epsilon$-核集，只要底层空间的开度量球诱导的范围空间具有有界VC维，这具有独立意义。最后，我们展示我们的 $\epsilon$-核集可用于改进现有 $(1,\ell)$-中值聚类近似算法的运行时间。