离散弗雷歇距离下 $(k,\ell)$-中位聚类的近线性时间近似方案

复杂度为 $m$ 的时间序列是 $m$ 个实值测量值的序列。离散弗雷歇距离 $d_{dF}(x,y)$ 是两个可能具有不同复杂度的时间序列 $x$ 和 $y$ 之间的距离度量。给定一个由 $n$ 个时间序列组成的集合，这些时间序列表示为实数上的 $m$ 维向量，离散弗雷歇距离下的 $(k,\ell)$-中位问题旨在找到一个由 $k$ 个复杂度为 $\ell$ 的时间序列组成的集合 $C$，使得 $$\sum_{x\in P} \min_{c\in C} d_{dF}(x,c)$$ 最小化。在本文中，当 $\ell$ 和 $\varepsilon$ 为常数但 $k$ 可以大到 $\Omega(n)$ 时，我们给出了该问题的首个近线性时间 $(1+\varepsilon)$-近似算法。我们通过引入一种新的离散弗雷歇距离降维技术，然后调整 Cohen-Addad 等人（J. ACM 2021）的算法以在降维后的输入上工作，从而获得了我们的结果。作为副产品，我们还改进了离散弗雷歇距离下 $(k,\ell)$-中位的最佳核心集构造（Cohen-Addad 等人，SODA 2025），并证明了其大小可以独立于输入时间序列的数量及其复杂度。