部分双倍度度量空间聚类的近线性时间近似算法

给定有限度量空间 $(X\cup Y, \mathbf{d})$，$k$ 中位数问题是寻找集合 $C\subseteq Y$ 中的 $k$ 个中心，以最小化 $\sum_{p\in X} \min_{c\in C} \mathbf{d}(p,c)$。在一般度量空间中，最佳多项式时间算法计算 $\epsilon>0$ 的任意值时的 $(2+\epsilon)$ 近似算法（Cohen-Addad 等，STOC 2025）。然而，如果该度量空间是双倍度的，则已知存在近线性时间的 $(1+\epsilon)$ 近似算法（Cohen-Addad 等，J. ACM 2021）。我们展示，$(1+\epsilon)$ 近似算法可推广到情况，即使 $X$ 或 $Y$ 中一个集合具有有限双倍维数（但另一个集合不具有）。当 $X$ 为双倍度时，动机是即使 $X$ 属于高维空间，它可能接近低维结构。当 $Y$ 为双倍度时，动机是特定聚类问题，其中中心是低维的。具体而言，我们的工作在此设置下意味着在离散 F\'echet 距离下，当 $\ell$ 为常数时，$(k,\ell)$ 中位数问题的第一个近线性时间近似算法。我们进一步引入一种用于实值时间序列的新型复杂度简化，导致针对离散 F\'echet 距离的类似结果。为解决 $Y$ 具有有限双倍维数的情况，我们引入一种维度约简，将来自 $X$ 的点替换为来自 $Y$ 的点集合。为解决 $X$ 具有有限双倍维数的情况，我们将 Talwar 的分解（Talwar STOC 2004）推广到我们的设置。我们的算法运行时间为 $2^{2^t} \tilde O(n+m)$，其中 $t=O(\mathrm{ddim} \log \frac{\mathrm{ddim}}{\epsilon})$，其中 $\mathrm{ddim}$ 为 $X$（或 $Y$）的双倍维数。结果还推广到度量设施位置问题。