基于近似距离计数与选择技术的带捷径离散及半连续 Fréchet 距离

\emph{Fréchet 距离} 是一种研究充分的曲线相似性度量。\emph{离散 Fréchet 距离} 是一种类似的相似性度量，定义为 $m$ 个点的序列 $A$ 和 $n$ 个点的序列 $B$ 之间的距离，这些点通常采样自输入曲线。在本文中，我们考虑一种称为\emph{带捷径的离散 Fréchet 距离}的变体，它捕捉了存在异常值时（采样）曲线之间的相似性。对于允许在两条曲线中均使用捷径的\emph{双向}情况，我们给出了一种计算该距离的 $O((m^{2/3}n^{2/3}+m+n)\log^3 (m+n))$ 时间算法。当仅允许在一条含噪声的曲线中使用捷径时，我们给出了一种更快的随机算法，其期望运行时间为 $O((m+n)^{6/5+\varepsilon})$，适用于任意 $\varepsilon>0$。我们的技术是新颖的，并可能找到进一步的应用。主要的新颖技术结果之一是：给定两个点集 $A$ 和 $B$ 以及一个区间 $I$，我们开发了一种算法来判断距离 ${\rm dist}(x,y)$ 位于 $I$ 内的点对 $(x,y)\in A\times B$ 的数量是否小于某个给定阈值 $L$。该算法的运行时间随 $L$ 的增加而减少。如果距离位于 $I$ 内的点对数量超过 $L$，我们可以获得一个包含近似中值距离点对的小样本（即我们可以近似地“二分”$I$）。我们将此过程与其他思想相结合，利用非常快速的判定过程，以较小的开销搜索最优的单向带捷径 Fréchet 距离。我们还展示了如何应用此技术来近似距离选择（关于秩），以及计算具有单向捷径的半连续 Fréchet 距离。