Fr\'echet距离下时间序列的$(2+\epsilon)$-近似最近邻

我们研究连续Fr\'echet距离下时间序列的近似最近邻数据结构。对于可达近似因子$c>1$与查询半径$r$,近似最近邻数据结构可用于预处理$\mathbb{R}$中(即时间序列)$n$条复杂度均为$m$的曲线,以复杂度$k$的曲线进行查询:要么返回一条位于Fr\'echet距离$cr$内的曲线,要么回答输入中不存在距离$r$内的曲线。两种情况下答案均正确。我们的第一个数据结构达到$(5+\epsilon)$近似因子,使用$n\cdot \mathcal{O}\left({\epsilon^{-1}}\right)^{k} + \mathcal{O}(nm)$的空间,查询时间为$\mathcal{O}\left(k\right)$。第二个数据结构达到$(2+\epsilon)$近似因子,使用$n\cdot \mathcal{O}\left(\frac{m}{k\epsilon}\right)^{k} + \mathcal{O}(nm)$的空间,查询时间为$\mathcal{O}\left(k\cdot 2^k\right)$。第三个正面结果是一个基于局部敏感哈希的概率数据结构,其空间为$\mathcal{O}(n\log n+nm)$,查询时间为$\mathcal{O}(k\log n)$,并以$\mathcal{O}(k)$的近似因子回答查询。我们所有数据结构都利用了签名(signature)这一概念,该概念最初是为Fr\'echet距离下时间序列聚类问题而引入的。此外,我们给出了该问题的下界。考虑任意近似因子小于$2$、支持弧长至多为$L$的曲线且仅用常数次探测回答查询的数据结构。我们证明,在字长合理假设下,任何此类数据结构都需要$L^{\Omega(k)}$的空间。