Fr\'echet距离下多边形曲线的近似最近邻

我们针对$\mathbb{R}^d$中Fr\'{e}chet距离下的$n$条多边形曲线提出了$\kappa$-近似最近邻（ANN）数据结构，其中$\kappa \in \{1+\varepsilon,3+\varepsilon\}$且$d \geq 2$。我们假设每条输入曲线至多具有$m$个顶点，每条查询曲线至多具有$k$个顶点，$k \ll m$，且$k$在预处理时给定。查询时间对于$(1+\varepsilon)$-ANN为$\tilde{O}(k(mn)^{0.5+\varepsilon}/\varepsilon^d+ k(d/\varepsilon)^{O(dk)})$，对于$(3+\varepsilon)$-ANN为$\tilde{O}(k(mn)^{0.5+\varepsilon}/\varepsilon^d)$。两种情况下空间与期望预处理时间均为$\tilde{O}(k(mnd^d/\varepsilon^d)^{O(k+1/\varepsilon^2)})$。在二维和三维中，我们将查询时间改进为$(1+\varepsilon)$-ANN为$O(1/\varepsilon)^{O(k)} \cdot \tilde{O}(k)$，$(3+\varepsilon)$-ANN为$\tilde{O}(k)$。两种情况下空间与期望预处理时间均改进为$(mn/\varepsilon)^{O(k)} \cdot \tilde{O}(k)$。为便于表述，我们将边界中纯依赖于$d$的因子视为$O(1)$。大-$\tilde{O}$记号中隐藏的多对数因子的幂依赖于$d$。