曲线的局部敏感哈希

我们研究用于存储 ${\rm R}^d$ 中一组多边形曲线的数据结构，使得给定一条查询曲线，能够高效地从集合中检索相似曲线，其中相似性采用离散 Fréchet 距离或动态时间规整距离度量。为此，我们设计了针对这些距离度量的首个局部敏感哈希方案。一个主要挑战在于这些距离度量在内部优化曲线间的对齐。我们给出了针对不同类型对齐的解决方案，包括受约束与无约束版本。对于无约束对齐，我们改进了 Indyk 于 2002 年针对短曲线的结果。设 $n$ 为输入曲线数量，$m$ 为输入中曲线的最大复杂度。在特定情形 $m \leq \frac{\alpha}{4d} \log n$（对某固定 $\alpha>0$）下，我们的解决方案给出了一种针对离散 Fréchet 距离的近似近邻数据结构，其空间复杂度为 $O(n^{1+\alpha}\log n)$，查询时间为 $O(n^{\alpha}\log^2 n)$，且具有常数近似因子。此外，我们的解决方案提供了近似质量与计算性能之间的权衡：对任意参数 $k \in [m]$，可给出一种数据结构，空间复杂度为 $O(2^{2k}m^{k-1} n \log n + nm)$，查询时间为 $O(2^{2k} m^{k}\log n)$，近似因子为 $O(m/k)$。