关于Fréchet距离下曲线间的近似最近邻查询

近似最近邻搜索（ANNS）是计算几何中一个长期研究的问题。本文重新审视了该问题，并针对$\Reals^d$空间中（连续）Fréchet距离下的曲线，提出了首个数据结构。给定一个包含$n$条曲线的集合$\P$，每条曲线在$\Reals^d$中的规模至多为$m$，以及一个固定的实数$\delta>0$，我们的目标是对$\P$进行预处理，构建一个数据结构，使得对于任意给定的规模为$k$的查询曲线$Q$，能够高效地报告出$\P$中所有与$Q$的Fréchet距离至多为$\delta$的曲线。在预处理阶段已知$k$的情况下，对于任意$\eps>0$，我们提出了一种确定性数据结构，其空间复杂度为$n \cdot O\big(\max\big\{\big(\frac{\sqrt{d}}{\eps}\big)^{kd}, \big(\frac{\D\sqrt{d}}{\eps^2}\big)^{kd}\big\}\big)$，能够以$O(kd)$的查询时间回答$(1+\eps)\delta$-ANNS查询，其中$\D$是$\P$的直径。将$k$视为查询的一部分，空间复杂度略微变为$n \cdot O\big(\frac{1}{\eps}\big)^{md}$，查询时间为$O(kd)$，近似因子为$5+\eps$。我们展示了用于ANNS的通用数据结构能够为de Berg等人[8]研究的近似子轨迹范围搜索问题提供一种替代处理方法。我们还重新审视了[6]中用于空间密度图的时间窗口数据结构。给定$\theta>0$，以及分布在图中$m$个区域上的$n$个带时间戳的点，对于任意查询窗口$W$，我们提出了一种空间复杂度为$O(n/\eps^2)$、构建时间为$O((n+m)/\eps^2)$的数据结构，该结构能够在$O(1)$的查询时间内近似返回那些时间在$W$内且包含至少$\theta$个点的区域。