曲线间范围搜索的复杂性

现代追踪技术使得大量密集采样的移动对象轨迹被广泛收集。我们考虑分析此类数据时遇到的一个基本问题：给定 $\mathbb{R}^d$ 中的 $n$ 条多边形曲线 $S$，将 $S$ 预处理为一种数据结构，该结构能够使用查询曲线 $q$ 和半径 $\rho$ 进行查询，找出 $S$ 中与 $q$ 的 \Frechet 距离至多为 $\rho$ 的曲线。我们对此数据结构问题的空间/查询时间权衡发起了全面分析。我们的下界意味着，在指针机模型中，任何达到 $Q(n) + O(k)$ 查询时间（其中 $k$ 为输出大小）的数据结构，即使在查询仅为点（离散 \Frechet 距离）或线段（连续 \Frechet 距离）的情况下，最坏情况也必须使用大约 $\Omega\left((n/Q(n))^2\right)$ 的空间。更重要的是，我们表明更复杂的查询和输入曲线会在下界中引入额外的对数因子。粗略地说，所添加的对数因子数量与添加到查询和输入曲线复杂度的边数呈线性关系。这意味着空间/查询时间权衡随输入和查询复杂度的指数因子而恶化。这一行为解决了范围搜索文献中的一个开放问题：是否可能避免多级划分树在空间与查询时间上的额外对数因子。我们对此问题给出否定回答。在正面结果方面，我们展示可以利用半代数范围搜索为 \Frechet 距离构建数据结构。我们针对离散 \Frechet 距离的解决方案与下界一致，因为数据结构中的层数为 $O(t)$，其中 $t$ 表示曲线的最大顶点数。对于连续 \Frechet 距离，层数增加到 $O(t^2)$。