通过高效平均畸变嵌入的近邻搜索

Andoni、Naor、Nikolov、Razenshteyn和Waingarten近期的一系列论文（STOC 2018, FOCS 2018）为广泛的一类距离度量（包括所有范数）给出了近似近邻搜索（NNS）数据结构。具体而言，这些数据结构在 $\ell_p^d$ 范数下实现了约为 $p$ 的近似，空间复杂度近乎线性于数据集大小 $n$ 且关于维度 $d$ 为多项式，查询时间关于 $n$ 亚线性且关于 $d$ 为多项式。其主要缺陷是构建所需的随 $d$ 指数增长的预处理时间。在本文中，我们描述了一种更直接的框架，用于为一般范数构造NNS数据结构。更具体地，我们通过算法归约表明，给定度量到 $\ell_1$ 或欧氏空间的高效平均畸变嵌入，意味着该度量上高效的NNS数据结构。特别地，只要嵌入可在多项式时间内计算，所得数据结构仅需多项式预处理时间。作为该框架的具体实例，我们给出了一种具有高效预处理的 $\ell_p$ NNS数据结构，其近似因子、空间与查询复杂度与前述Andoni等人的数据结构相匹配。在此过程中，我们解决了Naor的一个问题（Analysis and Geometry in Metric Spaces, 2014），并提供了从 $\ell_p$（$p \ge 2$）到 $\ell_2$ 的显式、可高效计算的嵌入，其（二次）平均畸变约为 $p$。我们期望我们的方法为构造所有范数上的高效NNS数据结构铺平道路。