基于非欧氏与加权距离的近似最近邻搜索

我们提出一种在固定维度下针对多种非欧氏距离的近似最近邻查询新方法。给定 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 个点的集合 $S$、近似参数 $\varepsilon > 0$，以及满足特定光滑性与增长率假设的距离函数。目标是将 $S$ 预处理为数据结构，使对任意查询点 $q \in \mathbb{R}^d$，均能高效报告 $S$ 中任一点，其与 $q$ 的距离在实际最近点的 $1+\varepsilon$ 倍以内。在此工作之前，常量维度空间中最高效的近似最近邻搜索数据结构仅适用于欧氏度量。本文通过称为凸化的方法克服该局限。对于可容许距离函数，所提数据结构以对数时间回答查询，使用 $O(n \log (1 / \varepsilon) / \varepsilon^{d/2})$ 空间，几乎匹配欧氏度量下已知最优界。这些结果适用于凸缩放距离函数（包括马哈拉诺比斯距离与加权 Minkowski 度量）及 Bregman 散度（包括 Kullback-Leibler 散度与 Itakura-Saito 距离）。