强次二次时间内常数逼近 Fréchet 距离

设 $\tau$ 和 $\sigma$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中任意固定 $d$ 的两条多边形曲线。假设 $\tau$ 和 $\sigma$ 分别拥有 $n$ 和 $m$ 个顶点，且 $m\le n$。尽管条件下界阻止在强次二次时间内对 $\tau$ 和 $\sigma$ 之间的 Fréchet 距离进行 $3$ 的因子逼近，但当前最佳逼近算法在强次二次时间内取得 $n^c$ 的比值，其中 $c\in(0,1)$ 为常数。我们提出一种随机算法，其运行时间为 $O(nm^{0.99}\log(n/\varepsilon))$，在成功概率至少为 $1-1/n^6$ 的情况下，对 Fréchet 距离进行 $7+\varepsilon$ 的因子逼近。我们还推广技术，开发一种随机算法在强次二次时间内对离散 Fréchet 距离进行 $7+\varepsilon$ 的因子逼近。它们是首个在强次二次时间内对 Fréchet 距离和离散 Fréchet 距离进行常数因子逼近的算法。