关于小维欧氏空间中聚类用的 Coresets

我们考虑在欧氏空间中为 $k$-Median 构造小型 coreset 的问题。给定大数据点集 $P\subset \mathbb{R}^d$，coreset 是一个小得多的点集 $S\subset \mathbb{R}^d$，使得任意 $k$ 个中心相对于 $P$ 与 $S$ 的 $k$-Median 代价相近。现有文献主要关注高维情形，并在获得与维度无关的界方面取得巨大成功，而小 $d$ 的情形很大程度上未被探索。考虑到欧氏聚类算法的许多应用处于小维度且当前文献缺乏系统研究，本文研究小维度下 $k$-Median 的 coreset。对于小 $d$，一个自然的问题是现有的近最优维度无关界能否被显著改进。我们对一系列参数给出了肯定的回答。此外，还证明了新的下界结果，其为小 $d$ 下的最高者。特别地，我们完全确定了 $1$ 维 $k$-Median 的 coreset 大小界（相差对数因子）。有趣的是，我们的结果暗示了 $1$ 维 $1$-Median 与 $1$ 维 $2$-Median 之间的强分离。据我们所知，这是任何维度下 $k=1$ 与 $k=2$ 之间的首个此类分离。