鲁棒几何中位数的核心集：消除对异常值数量的依赖

我们研究了欧几里得空间 $\mathbb{R}^d$ 中的鲁棒几何中位数问题，重点关注核心集构造。核心集是大小为 $n$ 的数据集 $P$ 的紧凑摘要，它在乘法误差 $\varepsilon$ 内近似所有中心 $c$ 的鲁棒代价。给定异常值数量 $m$，当 $n \geq 4m$ 时，我们构造了一个大小为 $\tilde{O}(\varepsilon^{-2} \cdot \min\{\varepsilon^{-2}, d\})$ 的核心集，消除了先前工作 [Huang et al., 2022 & 2023] 中存在的 $O(m)$ 依赖。对于 $d = 1$ 的特殊情况，我们实现了 $\tilde{\Theta}(\varepsilon^{-1/2} + \frac{m}{n} \varepsilon^{-1})$ 的最优核心集大小，揭示了与 [Huang et al., 2023; Afshani and Chris, 2024] 中研究的普通情况有明显区别。我们的结果进一步扩展到各种度量空间中的鲁棒 $(k,z)$-聚类，在温和的数据假设下消除了对 $m$ 的依赖。关键的技术贡献是一种新颖的非分量式误差分析，能够大幅减少异常值的影响，这与保留异常值的先前方法不同。在实验上，即使在广泛的数据集上违反数据假设，我们的算法在大小-精度权衡和运行时间方面也始终优于现有基线。