带离群点的几何中位数问题的复杂性
计算几何
2021-12-02 v1 计算复杂性
最优化与控制
摘要
在带离群点的几何中位数问题中，给定 d 维实空间中的有限点集与整数 m，目标是定位空间中的一个新点（中心）并选出 m 个输入点，以最小化从中心到所选点的欧氏距离之和。若 d 固定，该问题可在多项式时间内“几乎精确”求解，并在高维下容许近似方案 PTAS。然而，该问题的复杂性一直为开放问题。我们证明，若空间维数不固定，带离群点的几何中位数是强 NP 难的，除非 P=NP 否则不容许近似方案 FPTAS，且关于参数 m 是 W[1] 难的。证明通过从独立集问题的归约完成。基于类似归约，我们还得到密切相关几何 2-聚类问题的 NP 难性，其中要求将给定点集划分为两个平衡簇以最小化中位数聚类代价。最后，我们研究 空间中的带离群点几何中位数，并证明与欧氏问题相同的复杂性结果。
引用
@article{arxiv.2112.00519,
title = {On the Complexity of the Geometric Median Problem with Outliers},
author = {Vladimir Shenmaier},
journal= {arXiv preprint arXiv:2112.00519},
year = {2021}
}