关于最近对、最远对与正交对之间的差异：计算几何中的近线性与勉强次二次复杂度

对于 $d$ 维欧几里得空间（更一般地，$\ell_p$ 空间）中 $n$ 个点的点定位问题，通常有两种运行时间解法：*（近线性）小于 $d^{poly(d)} \cdot n \log^{O(d)} n$ 时间，或 *（勉强次二次）$f(d) \cdot n^{2-1/\Theta(d)}$ 时间，其中 $f$ 各异。对于小 $d$ 和大 $n$，“近线性”运行时间通常是可行的，而“勉强次二次”时间通常不可行。例如，在欧几里得度量下，在 ${\mathbb R}^d$ 中 $n$ 个点间寻找最近对是近线性的，可在 $2^{O(d)} \cdot n \log^{O(1)} n$ 时间内求解，而已知的最远对（点集的直径）算法仅是勉强次二次的，需要 $\Omega(n^{2-1/\Theta(d)})$ 时间。为何这些邻近问题具有如此不同的时间复杂度？对于目前仅为勉强次二次的问题，是否存在获得近线性算法的障碍？我们给出了正交向量问题在 $\{0,1\}^d$ 中 $n$ 个向量到 ${\mathbb Z}^{\omega(\log d)}$ 中 $n$ 个向量的一种新颖精确确定性自归约，其运行时间为 $2^{o(d)}$。由此，诸如欧几里得直径、欧几里得双色最近对、射线射击和关联检测等勉强次二次问题，在维度 $d = \omega(\log \log n)^2$ 下不存在 $O(n^{2-\epsilon})$ 时间算法（在图灵计算模型中），除非流行的正交向量猜想和强指数时间假设为假。也就是说，尽管多对数对数维的最近对处于 $n^{1+o(1)}$ 时间，最远对的类似情形却能编码被认为需要 $n^{2-o(1)}$ 时间的高维问题。我们还表明，在 $\omega(\log n)$ 维中的全最近邻问题需要 $n^{2-o(1)}$ 时间求解，前提是上述任一猜想成立。