树空间中的随机最近对问题与最可能最近邻搜索

设 $T$ 是一个由带权树（含 $t$ 个顶点）表示的树空间（或树网络），$S$ 是 $T$ 中 $n$ 个随机点的集合，其中每个点具有固定位置且存在概率独立。我们在这种随机设定下研究两个基本问题：最近对问题和最近邻搜索。对于前者，我们研究实现 $S$ 的最近对距离的 $\ell$-阈值概率与期望的计算。我们提出了首个算法，对任意给定阈值 $\ell$ 在 $O(t+n\log n+ \min\{tn,n^2\})$ 时间内计算 $\ell$-阈值概率，这立即得到在 $O(t+\min\{tn^3,n^4\})$ 时间内计算期望最近对距离的算法。在此基础上，我们进一步证明，通过论证期望最近对距离可由 $O(\varepsilon^{-1}n)$ 次阈值概率查询近似，能以 $O(t+\varepsilon^{-1}\min\{tn^2,n^3\})$ 时间计算期望最近对距离的 $(1+\varepsilon)$-近似。对于后者，我们通过称为 $k$ 最可能 Voronoi 图（$k$-LVD）的概念研究 $k$ 最可能最近邻搜索（$k$-LNN）。我们证明若 $S$ 中点的存在概率常数远离 0，则 $S$ 在 $T$ 上的 $k$-LVD $\varPsi_T^S$ 的大小以 $O(kn)$ 为界。此外，通过将存在概率视为从某固定分布抽取的 i.i.d. 随机变量，我们建立了 $\varPsi_T^S$ 大小的平均情况上界 $O(kn)$。我们的结果意味着存在一种 LVD 数据结构，可在平均情况 $O(t+k^2n)$ 空间、若存在概率常数远离 0 则最坏情况 $O(t+kn^2)$ 空间下，以 $O(\log n+k)$ 时间回答 $k$-LNN 查询。最后，我们还给出了构造该 LVD 数据结构的 $O(t+ n^2\log n+n^2k)$ 时间算法。