关于最近点对及相关问题的量子复杂性

最近点对问题是计算几何中的一个基本问题：给定 $d$ 维空间中的 $n$ 个点集，找出距离最小的一对点。一门入门课程中讲授的经典算法在常数维（即 $d=O(1)$）下以 $O(n\log n)$ 时间解决该问题。本文提出并回答了该问题量子时间复杂性的问题。具体而言，我们在常数维下给出 $\tilde{O}(n^{2/3})$ 算法，根据元素互异性量子查询复杂度的下界，该算法在多对数因子范围内是最优的。我们算法的关键在于一种支持量子干涉的高效历史无关数据结构。在 $\mathrm{polylog}(n)$ 维下，已知的量子算法均不优于暴力搜索，后者由 Grover 算法提供二次加速。为给出二次加速近乎最优的证据，我们开启了量子细粒度复杂性的研究，并引入量子强指数时间假设（QSETH），其基于当子句宽度较大时 Grover 算法对 CNF-SAT 是最优的假设。我们证明，除非 QSETH 不成立，否则高维中朴素 Grover 方法对最近点对在最差 $n^{o(1)}$ 因子内是最优的。我们还研究了双色最近点对问题和正交向量问题，得到了大致相似的结果。