关于欧几里得度量下的最近点对：单色与双色同样困难

给定 $\mathbb R^d$ 中的 $n$ 个点集，（单色）最近点对问题要求找出该集合中在 $\ell_p$-度量下距离最近的一对相异点。最近点对是计算几何中的基本问题，近期工作（Abboud-Rubinstein-Williams [FOCS'17]、Williams [SODA'18]、David-Karthik-Laekhanukit [SoCG'18]）提出了在 $d=\omega(\log n)$ 时理解其在欧几里得度量下细粒度复杂度的开放问题。本文中，我们证明对每个 $p\in\mathbb R_{\ge 1}\cup\{0\}$，在强指数时间假设（SETH）下，对任意 $\varepsilon>0$，如下结论成立：$\bullet$ 在 $d=(\log n)^{\Omega_{\varepsilon}(1)}$ 维的 $\ell_p$-度量中，不存在运行时间为 $O(n^{2-\varepsilon})$ 的算法能解决最近点对问题。$\bullet$ 存在 $\delta = \delta(\varepsilon)>0$ 与 $c = c(\varepsilon)\ge 1$，使得在 $d\ge c\log n$ 维的 $\ell_p$-度量中，不存在运行时间为 $O(n^{1.5-\varepsilon})$ 的算法能将最近点对问题近似到 $(1+\delta)$ 的因子。我们所有证明的核心在于构造一个具有低接触维数的稠密二部图，即我们在 $n$ 个顶点上构造一个平衡的二部图，其边数为 $n^{2-\varepsilon}$，且顶点可实现为 $(\log n)^{\Omega_\varepsilon(1)}$ 维欧几里得空间中的点，使得图中每条边的两个顶点距离恰为 1，而所有其他顶点对距离大于 1。该图构造受 Dumer-Miccancio-Sudan [IEEE Trans. Inf. Theory'03] 引入的局部稠密码构造所启发。