关于不同度量下1-中心问题的复杂性

我们考虑经典的 1-中心问题：给定度量空间中 $n$ 个点组成的集合 $P$，找出 $P$ 中使到其他点的最大距离最小的点。我们研究该问题在 $d$ 维 $\ell_p$ 度量以及长度为 $d$ 的字符串上的编辑度量和 Ulam 度量中的复杂性。我们关于 1-中心问题的结果可按 $d$ 分类如下。$\bullet$ 小 $d$：假设命中集猜想（HSC），我们证明当 $d=\omega(\log n)$ 时，在任何 $\ell_p$ 度量或编辑度量、Ulam 度量中，均无次二次算法能求解 1-中心问题。$\bullet$ 大 $d$：当 $d=\Omega(n)$ 时，我们扩展条件下界以排除编辑度量下 1-中心问题的次四次算法（假设量化 SETH）。另一方面，我们给出 Ulam 度量下 1-中心的 $(1+\epsilon)$-近似，其运行时间为 $\tilde{O_{\varepsilon}}(nd+n^2\sqrt{d})$。我们还通过允许近似或降低维数 $d$（但仅针对列出所有必需解的较弱算法类）加强了上述某些下界。此外，我们将其中一个困难性结果扩展，以排除编辑度量下广受研究的 1-中位数问题的次四次算法，其中给定 $n$ 个各长度为 $n$ 的字符串集合，目标是找出集合中使到其他字符串的编辑距离之和最小的字符串。