关于依据汉明距离向量的 p-范数计算质心

本文考虑 $p$-范数汉明质心问题，该问题要求判定给定的一些二进制串是否存在一个质心，使其到这些串的汉明距离的 $p$-范数受某上界约束。具体而言，给定字符串集合 $S$ 和实数 $k$，我们考虑判定是否存在字符串 $s^*$ 满足 $\big(\sum_{s \in S}d^p(s^*,s)\big)^{1/p} \leq k$，其中 $d(,)$ 表示汉明距离度量。该问题在数据聚类中具有重要应用，并且是著名的多项式时间可解的 \textsc{Consensus String}（$(p=1)$）问题以及 NP-困难 \textsc{Closest String}（$(p=\infty)$）问题的推广。我们的主要结果表明，对于所有固定的有理数 $p > 1$，该问题是 NP-困难的，从而填补了 $1$ 与 $\infty$ 之间所有有理数 $p$ 的空白。在标准复杂性假设下，该归约还意味着对于任意固定的 $p > 1$，该问题不存在 $2^{o(n+m)}$-时间或 $2^{o(k^{\frac{p}{(p+1)}})}$-时间算法，其中 $m$ 表示输入字符串个数，$n$ 表示每个字符串的长度。两个运行时间下界均为紧的。特别地，我们给出了对每个固定 $\varepsilon > 0$ 的 $2^{k^{\frac{p}{(p+1)}+\varepsilon}}$-时间算法。在论文最后部分，我们通过给出一个固定参数算法和一个因子-$2$ 近似算法来补充我们的困难性结果。