几何多对多匹配的 $O(n \log n)$ 时间近似方案

几何匹配是计算几何中的一个重要课题，几十年来已被广泛研究。在本文中，我们研究一种称为几何多对多匹配的几何匹配问题。在该问题中，输入是 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 个彩色点的集合 $S$，它隐式定义了一个图 $G = (S,E(S))$，其中 $E(S) = \{(p,q): p,q \in S \text{ 具有不同颜色}\}$，目标是计算覆盖 $S$ 中所有点的最小成本边子集 $E^* \subseteq E(S)$。此处 $E^*$ 的成本是 $E^*$ 中所有边的成本之和，其中单条边 $e$ 的成本是其两个端点之间的欧几里得距离（或更一般地，$L_p$-距离）。我们的主要结果是一个针对任意固定维度下几何多对多匹配的 $(1+\varepsilon)$-近似算法，其具有最优运行时间 $O_\varepsilon(n \log n)$，且适用于任何 $L_p$-范数。这是该问题在任意 $d \geq 2$ 情况下的首个近线性近似方案。在此之前，仅在 $\mathbb{R}^1$ 和 $\mathbb{R}^2$ 中考虑了几何多对多匹配的二分图情形，且 $\mathbb{R}^2$ 中已知的最佳近似方案耗时 $O_\varepsilon(n^{1.5} \cdot \mathsf{poly}(\log n))$。