关于 CVP 的定量难度

$\newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\problem}[1]{\ensuremath{\mathrm{#1}} } \newcommand{\CVP}{\problem{CVP}} \newcommand{\SVP}{\problem{SVP}} \newcommand{\CVPP}{\problem{CVPP}} \newcommand{\ensuremath}[1]{#1}$对于奇整数 $p \geq 1$（以及 $p = \infty$），我们证明了除非强指数时间假设 (SETH) 不成立，否则秩为 $n$ 的格上的 $\ell_p$ 范数最近向量问题 ($\CVP_p$) 无法在任何常数 $\eps > 0$ 下以 $2^{(1-\eps) n}$ 时间内求解。随后，我们将此结果扩展到“几乎所有” $p \geq 1$ 的值，不包括偶数整数。这一结果令人瞩目地接近于解决重要特例 $\CVP_2$（即欧几里得范数下的 $\CVP$）的定量时间复杂度问题，已知该问题存在 $2^{n +o(n)}$ 时间算法。特别是，我们的结果适用于任何当 $n \to \infty$ 时趋近于 2 的 $p = p(n) \neq 2$。我们还展示了针对 $\SVP_\infty$ 的类似 SETH 硬度结果；在所谓的 Gap-ETH 假设下，将 $\CVP_p$ 近似到某个常数因子内的硬度；以及在不同假设下针对任何 $1 \leq p < \infty$ 的 $\CVP_p$ 和 $\CVPP_p$ 的其他定量硬度结果。