为何我们无法证明偶数范数下最近向量问题的 SETH 困难性！

近期工作 [BGS17,ABGS19] 已证明，对于任何非偶整数的 $p$，在 $\ell_p$ 范数下的 CVP 具有 SETH 困难性。该结果通过给出一个从 $n$ 个变量的 $k$-SAT 到秩为 $n$ 的格上的 CVP 的 Karp 归约来证明。在这项工作中，我们展示了在 $p$ 为偶整数的 $\ell_p$ 范数下，证明 CVP 类似结果的障碍。我们证明，对于任意 $c>0$，如果对于每个 $k > 0$，都存在一个有效的归约，能将 $n$ 个变量的 $k$-SAT 实例映射到欧几里得范数下秩至多为 $n^{c}$ 的格上的 CVP 实例，那么 $\mathsf{coNP} \subset \mathsf{NP/Poly}$。在一个温和的额外承诺下，即目标到格的距离与格中最短非零向量的比率受限于 $exp(n^{O(1)})$，我们对所有偶数范数下的 CVP 证明了类似的结果。此外，我们证明，对于任意 $c> 0$ 和任意偶整数 $p$，如果对每个 $k > 0$，都存在一个有效的归约，能将 $n$ 个变量的 $k$-SAT 实例映射到秩至多为 $n^{c}$ 的格上的 $SVP_p$ 实例，那么 $\mathsf{coNP} \subset \mathsf{NP/Poly}$。这个关于 SVP 的结果不需要任何额外承诺。虽然先前的结果已表明 $\ell_2$ 范数（欧几里得范数）下的格问题比其他范数下的格问题更容易，但这是第一个显示这些问题之间存在分离的结果。我们通过使用 Dell 和 van Melkebeek [JACM, 2014] 的一个结果来达成这一点，该结果指出，对于任何 $\epsilon>0$，不可能存在一个能将任意 $k$-SAT 实例压缩成长度为 $\mathcal{O}(n^{k-\epsilon})$ 的字符串的归约。除了 CVP，我们还使用类似技术证明了子集和问题也成立相同的结果。