所有域上最小距离问题及所有 $\ell_p$ 范数下最短向量问题的参数化不可近似性
计算复杂性
2024-02-28 v3
摘要
我们证明，任意固定有限域上线性码的最小距离问题 (MDP) 在由输入距离界参数化时，在任何常数因子下近似均为 W[1]-困难。我们还对整数格上参数化最短向量问题 (SVP) 证明了类似结果。具体而言，我们证明 范数下的 SVP 对任何固定 在任何常数因子下近似为 W[1]-困难，而对 在趋近于 的因子下近似为 W[1]-困难。（每种情形我们均在随机归约下展示困难性。）这些结果回答了 Bhattacharyya、Bonnet、Egri、Ghoshal、Karthik C. S.、Lin、Manurangsi 和 Marx（Journal of the ACM, 2021）关于参数化 MDP 和 SVP 复杂性所留下（并明确提出）的主要问题。对于 MDP，他们针对二进制线性码建立了类似困难性，并将一般域的情形留作开放。对于 的 范数 SVP，他们展示了在某个常数因子（依赖于 ）下的不可近似性，并将对任意常数因子展示此种困难性留作开放。他们还留下了即使在 范数下精确 SVP 的 W[1]-困难性也未解决的问题。
引用
@article{arxiv.2211.07900,
title = {Parameterized Inapproximability of the Minimum Distance Problem over all Fields and the Shortest Vector Problem in all $\ell_p$ Norms},
author = {Huck Bennett and Mahdi Cheraghchi and Venkatesan Guruswami and João Ribeiro},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.07900},
year = {2024}
}
备注
40 pages. Revised exposition. To appear at SICOMP. Short conference version in STOC 2023