CVP(P) 的细粒度困难性——我们能证明的一切（且仅此而已）

我们给出了 $\ell_p$ 范数下最近向量问题（$\mathrm{CVP}_p$）及其近似与非一致变体的若干细粒度困难性结果。首先，我们证明对所有 $p \notin 2\mathbb{Z}$ 与 $\varepsilon > 0$，假设强指数时间假设（SETH），$\mathrm{CVP}_p$ 无法在 $2^{(1-\varepsilon)n}$ 时间内求解。其次，我们将此推广，证明对上述 $p$，假设一个“间隙”版本的 SETH，不存在在常数因子 $\gamma$ 内近似 $\mathrm{CVP}_p$ 的 $2^{(1-\varepsilon)n}$ 时间算法，其中 $\gamma$、$p$ 与底层困难 CSP 的元数 $k = k(\varepsilon)$ 之间存在显式关系。第三，我们给出带预处理（假设非一致 SETH）的（精确）$\mathrm{CVP}_p$ 的相同困难性结果。对于精确的“普通” $\mathrm{CVP}_p$，[Bennett, Golovnev, and Stephens-Davidowitz FOCS 2017] 对除有限多个 $p \notin 2\mathbb{Z}$（例外集合依赖于 $\varepsilon$ 且非显式）外的所有 $p$ 给出了相同困难性结果。对于近似与预处理问题，此前仅知非常弱的界。我们还表明对 $p \notin 2\mathbb{Z}$ 的限制在某种意义上是固有的。特别地，我们证明在 SETH 下，没有任何“自然”归约能排除甚至 $2^{3n/4}$ 时间的 $\mathrm{CVP}_2$ 算法。为此，我们证明在 $\ell_2$ 范数下到目标的最近格向量集合具有相当刚性的结构，这本质上阻止了它们像 $3$-CNF 那样具有表达力。我们使用来自许多不同领域的技术证明这些结果，包括复分析、泛函分析、加性组合学与离散傅里叶分析。例如，在此过程中，我们给出了布尔立方体上 Szemerédi 立方引理的一个新的（且更紧的）证明。