SVP 的 (Gap/S)ETH 困难性

我们证明关于 $\ell_p$ 范数下最短向量问题 ($\SVP_p$) 的如下定量困难性结果，其中 $n$ 为输入格的秩。$\bullet$ 对“几乎所有” $p > p_0 \approx 2.1397$，除非（随机化）强指数时间假设 (SETH) 不成立，否则不存在运行时间为 $2^{n/C_p}$ 的 $\SVP_p$ 算法，其中 $C_p > 0$ 为某显式常数。$\bullet$ 对任意 $p > 2$，除非（随机化）Gap-指数时间假设 (Gap-ETH) 不成立，否则不存在运行时间为 $2^{o(n)}$ 的 $\SVP_p$ 算法。此外，对每个 $p > 2$，存在常数 $\gamma_p > 1$ 使得即便对 $\gamma_p$-近似 $\SVP_p$ 同样结论成立。$\bullet$ 对任意 $1 \leq p \leq 2$，不存在运行时间为 $2^{o(n)}$ 的 $\SVP_p$ 算法，除非 (1)（非一致）Gap-ETH 不成立；或 (2) 在 $\ell_2$ 范数下不存在具有指数接吻数的格族。此外，对每个 $1 \leq p \leq 2$，存在常数 $\gamma_p > 1$ 使得即便对 $\gamma_p$-近似 $\SVP_p$ 同样结论成立。