证伪 SETH 与正交向量猜想的更多推论

强指数时间假设（Strong Exponential Time Hypothesis, SETH）与 OV-猜想（正交向量猜想）是两个常用的困难性假设，用于证明大量下界，尤其在多项式时间算法领域。中维 OV-猜想陈述为：不存在 $\epsilon>0$ 使得一个 $O(N^{2-\epsilon})\mathrm{poly}(D)$ 时间算法能判定给定大小为 $N$、含 $D$ 维二值向量的集合中是否存在一对正交向量。我们加强了对这些困难性假设的证据。具体而言，我们表明若 OV-猜想不成立，则两个我们远未从穷举搜索获得哪怕微小改进的问题将拥有惊人的快速算法。若 OV 猜想为假，则存在固定 $\epsilon>0$ 使得：(1) 对所有 $d$ 及所有足够大的 $k$，存在一个随机算法以 $O(n^{(1-\epsilon)k})$ 时间求解具有 $n$ 个顶点的 $d$-超图上的零权-$k$-团与最小权-$k$-团问题。作为推论，OV-猜想由加权团猜想推出。(2) 对所有 $c$，$n$ 输入上的稀疏 TC1 电路（即具有 $cn$ 条线、深度 $c\log n$、以及非、与、或和阈值门的电路）的可满足性可在时间 ${O((2-\epsilon)^n)}$ 内计算。