通过顶点删除使特定顶点成为最小或最大度顶点的复杂性

在本文中，我们研究了两个节点删除问题的可近似性。给定一个顶点加权图 $G=(V,E)$ 和一个指定的或“特定的”顶点 $p \in V$，MDD(min) 问题是寻找一个最小权重顶点集 $S \subseteq V\setminus \{p\}$，使得 $p$ 在 $G[V \setminus S]$ 中成为最小度顶点；而 MDD(max) 问题是寻找一个最小权重顶点集 $S \subseteq V\setminus \{p\}$，使得 $p$ 在 $G[V \setminus S]$ 中成为最大度顶点。这些是已知的 $NP$-完全问题，并在先前的工作中从参数化复杂度的角度进行了研究。在此，我们证明对于任意 $\epsilon > 0$，除非 $NP \subseteq DTIME(n^{\log\log n})$，否则这两个问题都无法在 $(1 - \epsilon)\log n$ 因子内被近似。我们还表明，对于任意 $\epsilon > 0$，除非 $NP \subseteq DTIME(n^{\log\log n})$，否则 MDD(min) 在二分图上无法在 $(1 -\epsilon)\log n$ 因子内被近似；并且对于任意 $\epsilon > 0$，除非 $NP \subseteq DTIME(n^{\log\log n})$，否则 MDD(max) 在二分图上无法在 $(1/2 - \epsilon)\log n$ 因子内被近似。我们给出了一个针对一般图上 MDD(max) 的 $O(\log n)$ 因子近似算法，前提是 $p$ 的度为 $O(\log n)$。接着我们表明，如果 $p$ 的度为 $n-O(\log n)$，类似的结果也适用于 MDD(min)。我们证明了 MDD(max) 在 3-正则无权图上是 $APX$-完全的，并提供了一个当 $G$ 为 3-正则无权图时比率为 $1.583$ 的近似算法。此外，我们展示了当 $G$ 是常数度的正则图时，MDD(min) 可以在多项式时间内求解。