不相交路径路由问题的新困难性结果

在经典的节点不相交路径（NDP）问题中，输入包含一个无向的 $n$ 顶点图 $G$，以及一组顶点对集合 $\mathcal{M}=\{(s_1,t_1),\ldots,(s_k,t_k)\}$，称为源-目的或需求对。目标是经由节点不相交的路径路由尽可能多的需求对。该问题当前最好的近似算法是一个简单的贪心算法，其近似因子为 $O(\sqrt n)$，而当前最好的负面结果是在标准复杂性假设下，对于任意常数 $\delta$，近似难度为 $\Omega(\log^{1/2-\delta}n)$。即使问题看似简单的特例也仍未被充分理解：当输入图是网格时，当前最好的算法达到 $\tilde O(n^{1/4})$ 近似；当输入图是一般平面图时，当前最好的高效算法近似比为 $\tilde O(n^{9/19})$。目前已知的这两个问题版本近似比下界均为 APX-困难。在本文中，我们证明 NDP 是 $2^{\Omega(\sqrt{\log n})}$-难近似的，除非所有 NP 问题都有运行时间为 $n^{O(\log n)}$ 的算法。我们的结果即使在底层图是最大顶点度为 $3$ 的平面图，且所有源顶点位于单个面的边界上（但目的顶点可以位于图中任何位置）时也成立。我们将此结果扩展到密切相关的边不相交路径问题，证明即使对于所有源点位于单个面边界上的次立方平面图，也具有相同的近似比困难性。