拥塞为 2 的边不相交路径问题的多对数近似算法

在带拥塞的边不相交路径问题 (Edge-Disjoint Paths with Congestion, EDPwC) 中，给定一个无向 n 顶点图 G、一组需求对 M={(s_1,t_1),...,(s_k,t_k)} 和一个整数 c。目标是通过路径连接尽可能多的需求对，使得最大边拥塞（即任何边上共享的路径数量）受限于 c。当允许的最大拥塞 c=1 时，这就是经典的边不相交路径问题 (EDP)。当前针对 EDP 的最佳近似算法通过对该问题的标准多商品流松弛进行舍入，实现了 $O(\sqrt n)$ 近似。这与该松弛的整数性间隙的 $\Omega(\sqrt n)$ 下界相匹配。我们展示了一种针对拥塞 c=2 的 EDPwC 的 $O(poly log k)$ 近似算法，该方法同样通过对多商品流松弛进行舍入实现。这为通过此松弛实现 EDPwC 次多项式近似提供了最佳可能的拥塞。就路由对的数量而言，我们的结果也接近最优，因为已知对于任何常数拥塞 c，EDPwC 难以在 $\tilde{\Omega}((\log n)^{1/(c+1)})$ 因子内进行近似。在我们工作之前，拥塞为 2 的 EDPwC 的最佳近似因子为 $\tilde O(n^{3/7})$，而实现多对数近似的最佳算法需要拥塞为 14。