有向不相交路径问题的一个松弛：全局拥塞度量有所帮助

在有向不相交路径问题中，给定一个有向图 $D$ 和一组请求 $\{(s_1, t_1), \ldots, (s_k, t_k)\}$，任务是找到一组两两顶点不相交的路径 $\{P_1, \ldots, P_k\}$，使得每条 $P_i$ 是 $D$ 中从 $s_i$ 到 $t_i$ 的路径。该问题对固定的 $k=2$ 是 NP 完全的，并且在 DAG 中以 $k$ 为参数是 W[1]-难的。在输入有向图的限制下（如平面性或有界有向树宽），或在问题松弛下（如允许顶点拥塞），已知少数正面结果。然而，对于一般有向图，正面结果很少。在本文中，我们为该问题提出了一个新的全局拥塞度量：我们只要求路径“足够不相交”，即它们不必在整个图中表现良好，而只需在由参数规定的未指定大小的部分中表现良好。具体而言，在足够不相交有向路径问题中，给定一个 $n$ 顶点有向图 $D$、一组 $k$ 个请求以及非负整数 $d$ 和 $s$，任务是找到连接这些请求的一组路径，使得 $D$ 中至少 $d$ 个顶点至多出现在该组路径中的 $s$ 条路径里。我们针对若干参数选择（包括 $D$ 的有向树宽）研究了该问题的参数化复杂性。除其他结果外，我们证明了该问题在 DAG 中以 $d$ 为参数是 W[1]-难的；在正面结果方面，我们给出了时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^{d+2} \cdot k^{d\cdot s})$ 的算法，以及一般有向图中大小为 $d \cdot 2^{k-s}\cdot \binom{k}{s} + 2k$ 的核。后一结果对 Steiner 网络问题有影响：我们证明它以终端数 $k$ 和 $p$ 为参数是 FPT 的，其中 $p = n - q$，$q$ 为解的大小。