重访锦标图上的有向不相交路径问题
数据结构与算法
2025-04-29 v1
摘要
在有向不相交路径问题 (-DDP) 中，给定一张有向图 对终点对，目标是找到 条两两顶点不相交的路径，连接每对终点。Bang-Jensen 和 Thomassen [SIAM J. Discrete Math. 1992] 声称 -DDP 在锦标图上是NP完全的，此结果激发了一系列关于锦标图及其自然超类的复杂度研究。我们发现其证明存在缺陷，已获作者认可，并提供了新的NP完性证明。在算法方面，Fomin 和 Pilipczuk [J. Comb. Theory B 2019] 提出了针对半完全有向图上边缘不相交版本的固定参数可靠算法，并指出其技术无法作用于顶点不相交版本。我们通过表明允许顶点拥塞 的 -DDP 在半完全有向图上当 时可被固定参数可靠求解，从而克服了这一障碍。该方法基于对边缘不相交版本的相当精心的无关顶点论证，我们证明此 的选择对该技术而言是最佳的，若 ，则存在无关顶点的反例。我们还证明 -DDP 在可划分为 个半完全有向图的有向图上，以 为参数是 -硬的，这表明Chudnovsky、Scott和Seymour [J. Comb. Theory B 2019] 提出的XP算法在本质上是最优的。
引用
@article{arxiv.2504.19957,
title = {Revisiting Directed Disjoint Paths on tournaments (and relatives)},
author = {Guilherme C. M. Gomes and Raul Lopes and Ignasi Sau},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.19957},
year = {2025}
}