规范有向树分解及其在有向不相交路径问题中的应用

Robertson 和 Seymour 在其开创性的图子式系列中给出的规范树分解定理，被证明是结构图论与算法图论中最重要的工具之一。在本文中，我们提供了针对有向图（digraphs）的规范树分解定理。更确切地说，我们在多项式时间内构造有向图的有向树分解，以区分其所有阶为 $k$ 的缠结（tangles），其中 $k$ 为任意固定整数。作为该规范树分解定理的一个应用，我们针对有向不相交路径问题提供如下结果：对每个固定的 $k$，存在一个多项式时间算法，其输入为 $G$ 以及源点与终点顶点 $(s_1, t_1), \dots, (s_k, t_k)$，该算法要么 1. 判定不存在连接每个源点 $s_i$ 到其终点 $t_i$ 的两两顶点不相交路径的集合，要么 2. 找到一个半整数解，即输出路径 $P_1, \dots, P_k$ 使得 $P_i$ 连接 $s_i$ 到 $t_i$，从而图的每个顶点至多包含在两条路径中。鉴于已知的有向不相交路径问题的困难性结果，我们的结果对于一般有向图无法被改进，既不能改进到固定参数可处理性，也不能改进到完全顶点不相交的有向路径。据我们所知，这是首次针对一般有向图获得 $k$-不相交路径问题的可处理结果。我们期望我们的规范树分解在有向结果方面有更多的应用。