平面不相交路径、树宽与核

在平面不相交路径问题中，给定一个无向平面图及一组 $k$ 个顶点对 $(s_i,t_i)$，任务是找到 $k$ 条两两顶点不相交的路径，使得第 $i$ 条路径连接 $s_i$ 与 $t_i$。我们通过核化（kernelization）的视角研究该问题，旨在依据某参数高效地缩减输入规模。我们证明了平面不相交路径在以 $k$ 为参数时不存在多项式核，除非 coNP $\subseteq$ NP/poly，从而解决了 [Bodlaender, Thomassé, Yeo, ESA'09] 提出的一个开放问题。此外，我们排除了多项式图灵核的存在性，除非 WK 谱系坍缩。我们的归约可推广至边不相交路径的情形，而即便在一般图中其核化状态也一直未明。在正面结果方面，我们给出了以 $k + tw$ 为参数的平面不相交路径的多项式核，其中 $tw$ 表示输入图的树宽。作为上述两项结果的直接推论，在相同假设下我们排除了将树宽在多项式时间内（图灵）归约至 $tw= k^{O(1)}$ 的可能性。据我们所知，这是此类首个困难性结果。最后，将我们的核与已知技术 [Adler, Kolliopoulos, Krause, Lokshtanov, Saurabh, Thilikos, JCTB'17; Schrijver, SICOMP'94] 相结合，得到了一个替代的（且 arguably 更简单的）证明：平面不相交路径可在时间 $2^{O(k^2)}\cdot n^{O(1)}$ 内求解，与 [Lokshtanov, Misra, Pilipczuk, Saurabh, Zehavi, STOC'20] 的结果一致。