自由部分交换群、上同调以及曲面上有向图中的路径与回路

我们证明了对于每个固定的 $k$，在平面有向图中寻找给定源 - 汇对之间的 $k$ 条两两顶点不相交的有向路径的问题可在多项式时间内求解。事实上，只需固定覆盖所有源点和汇点所需的面数即可。此外，该方法可以推广到任何固定的紧致可定向曲面（而非平面）以及有根树（而非路径）。我们的方法是代数的，基于图（非阿贝尔）群上的上同调。更确切地说，设 $D=(V,A)$ 是一个有向图，$(G,\cdot)$ 是一个群。如果存在函数 $p:V\to G$ 使得对于每条弧 $a=(u,w)$ 都有 $p(u)\cdot\phi(a)\cdot p(w)^{-1}=\psi(a)$，则称两个函数 $\phi,\psi:A\to G$ 是上同调的。现在给定一个函数 $\phi:A\to G$，我们希望找到一个与 $\phi$ 上同调的函数 $\psi$，使得每个 $\psi(a)$ 属于 $G$ 的指定子集 $H(a)$。当 $G$ 是图群且每个 $H(a)$ 是闭的（即如果字 $xyz$ 属于 $H(a)$，则字 $y$ 也属于 $H(a)$）时，我们给出了该问题的多项式时间算法。该方法还表明，这样的 $\psi$ 存在当且仅当对于每个 $s\in V$ 和每对（无向）$s-s$ 路径 $P,Q$，存在 $x\in G$ 使得 $x\cdot\phi(P)\cdot x^{-1}\in H(P)$ 且 $x\cdot\phi(Q)\cdot x^{-1}\in H(P)$。（此处 $\phi(P)$ 是 $P$ 中弧上的 $\phi(a)$ 的乘积。类似地，$H(P)$ 是 $H(a)$ 的（群子集）乘积。）