k-汇点定位问题的多项式时间可近似性

动态网络${\cal N} = (G,c,\tau,S)$，其中$G=(V,E)$为一个图，整数$\tau(e)$和$c(e)$对于每条边$e\in E$分别表示遍历边$e$所需的时间和其非负容量，且集合$S\subseteq V$为源点集。在$k$-{\sc Sink Location}问题中，输入给定一个动态网络${\cal N}$，其中每个源点$u\in S$被赋予非负供给值$\sigma(u)$。任务是在$G$中找到一组汇点$X = \{x_1,\ldots,x_k\}$，使所有供给到$X$的路由时间最小化。注意，在$G$为无向图的情况下，$X$中汇点的最优位置不必在顶点处，而可位于边上。Hoppe和Tardos证明，给定$k$-{\sc Sink Location}的一个实例和一组$k$个顶点$X\subseteq V$，在图$G$为有向图的情况下，可以在多项式时间内找到$G$中所有供给到$X$的最优路由方案。注意当$G$为有向图时，这足以获得$k$-{\sc Sink Location}问题的多项式时间可解性，因为任何最优位置都将位于$G$的顶点处。然而，一般无向图上$k$-{\sc Sink Location}问题的计算复杂性仍属开放问题。在本文中，我们证明$k$-{\sc Sink Location}问题对每个固定的$k$承认一个完全多项式时间近似方案(FPTAS)，并且当以$k$为参数时该问题是$W[1]$-困难的。