竞赛图并中的不相交路径

给定有向图 $G$ 的 $k$ 对顶点 $(s_i,t_i)\;(1\le i\le k)$，我们如何检验是否存在从 $s_i$ 到 $t_i$ ($1\le i\le k$) 的顶点不相交有向路径？这在一般有向图中是 NP 完全的，即使对于 $k=2$ 也是如此；但在早先的论文中，我们证明了对于所有固定的 $k$，若 $G$ 是竞赛图（或更一般地，半完全有向图），则存在多项式时间算法解决该问题。在此我们证明，对于所有固定的 $k$，当 $V(G)$ 被划分为有界数个集合、每个集合导出半完全有向图（且给定该划分）时，存在多项式时间算法解决该问题。