有向图分解为有向线性森林和外向星的复杂性结果

我们考虑有向图中的两个分解问题。若一个有向图的每个连通分量至多包含 $k$ 条弧，则称该有向图为 $k$-有界的（其中 $k \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$）。对于第一个问题，有向线性森林是一组顶点不相交的有向路径，我们研究将给定有向图分解为一个 $k$-有界和一个 $\ell$-有界有向线性森林的问题（其中 $k,\ell \in \mathbb{Z}_{\geq 1}\cup \{\infty\}$ 为固定值）。通过证明当 $k+\ell \leq 3$ 时该问题可在多项式时间内求解，否则为 NP-完全，我们给出了该问题的完整二分法。这回答了 Campbell、H"orsch 和 Moore 提出的问题。对于第二个问题，我们称外向星系为一组顶点不相交的外向星。同样地，对于固定的 $k,\ell \in \mathbb{Z}_{\geq 1}\cup \{\infty\}$，我们给出了何时可将给定有向图边分解为一个 $k$-有界和一个 $\ell$-有界外向星的完整二分法。更确切地说，我们证明了当 $\min\{k,\ell\}\in \{1,\infty\}$ 时该问题可在多项式时间内求解，否则为 NP-完全。