关于寻找内部顶点不相交长有向路径的复杂性

对于两个正整数 $k$ 和 $\ell$，一个 $(k \times \ell)$-spindle（纺锤）是 $k$ 条两两内部顶点不相交、在顶点 $u$ 与 $v$ 间具有 $\ell$ 条弧的有向路径的并。我们关注若干判定给定有向图是否包含 spindle 细分的问题的（参数化）复杂性，这些问题同时推广了最大流与最长路径问题。我们得到如下复杂性二分法：对于固定的 $\ell \geq 1$，寻找最大 $k$ 使得输入有向图 $G$ 包含 $(k \times \ell)$-spindle 的细分，在 $\ell \leq 3$ 时为多项式时间可解，否则为 NP-困难。我们特别着重于寻找恰含两条路径的 spindle，并给出了在指数时间假设（ETH）下渐近最优的 FPT 算法。这些算法基于拟阵中代表族的技术，并将颜色编码作为子过程使用。最后，我们研究输入图为无环的情况，并给出若干算法与困难性结果。