$\ell_p$ 范数下格上有限距离解码的困难性

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\cc}[1]{\mathsf{#1}} \newcommand{\NP}{\cc{NP}} \newcommand{\problem}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\BDD}{\problem{BDD}} 有限距离解码 $\BDD_{p,\alpha}$ 是在 $\ell_{p}$ 范数下，当目标点被保证位于格最小距离的 $\alpha$ 倍范围内时的格解码问题。我们证明 $\BDD_{p, \alpha}$ 在随机化归约下是 $\NP$-困难的，其中当 $p \to \infty$ 时 $\alpha \to 1/2$（且当 $p=\infty$ 时 $\alpha=1/2$），从而展示了对于大 $p$ 接近唯一解码半径的距离下解码的困难性。我们还给出了 $\BDD_{p,\alpha}$ 的细粒度困难性。例如，我们证明对所有 $p \in [1,\infty) \setminus 2\Z$ 及常数 $C > 1, \eps > 0$，在随机化强指数时间假设（SETH）下，对某个常数 $\alpha$（当 $p \to \infty$ 时趋近于 $1/2$），不存在 $2^{(1-\eps)n/C}$ 时间算法求解 $\BDD_{p,\alpha}$。此外，本质上我们所有结果也（在类似非均匀假设下）适用于带预处理的 $\BDD$，其中在目标可用前可对格施加无界预计算。与 Liu、Lyubashevsky 和 Micciancio 关于 $\BDD_{p,\alpha}$ 困难性的先前工作（APPROX-RANDOM 2008）相比，我们的结果改进了已知对所有 $p > p_1 \approx 4.2773$ 该问题为 $\NP$-困难的 $\alpha$ 值，并给出了首个（任意范数下）$\BDD$ 的细粒度困难性。我们的归约依赖于 $\ell_{p}$ 范数中一类特殊的“局部稠密”格族，我们通过修改 Aggarwal 和 Stephens-Davidowitz（STOC 2018）的整数格稀疏化技术构造得到。